Trabajo final de Matematicas 3

Geometria Analitica:

estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del analisis matematico y del algebra en un determinado sistema de coordenadas.

Algebra :

es la rama de las matematicas que estudia las estructuras , las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Junto a la geometria , el analisis matematico, la combinatoria y la teoria de num0, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.

Rene Descartes escribio una obra en la que incluia un tema sobre geometria en donde establece una relacion entre esta rama de la matematica con el algebra al elaborar el metodo de las coordenadas como una foema de localizar cualquier punto en un plano.











Con la relación entre geometría analítica y álgebra surge el : Calculo.
Este se aplica en profesiones como:
Ingenieros,Fisicos,MatematicosQuimicos,Economistas,Biologos,Agronomos
entre Otros.

Capitulo 1. Introduccion a la Geometria Analitica.

• Sistemas de coordenadas cartecianas

El punto de partida de la geometria analitica son los llamados sistemas de coordenadas cartecianas.
Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escaados , dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional.

Auna recta numerica se le llama tambien eje y en ocaciones recta orientada.El eje esta formado por 2 semi-ejes semirrectas.El semi-eje positivo es el que tiene origen en O y contiene al punto U , el otro semi-eje con origen en O y que contiene U se llama logicamente el semi-eje negativo.
Se dibujan 2 rectas que dividen el plano en cuatro regiones o cuadrantes. El primer cuadro (I) ocupa la parte superior derecha, el segundo cuadrante (II) se coloca en la parte superior izquierda, el tercer cuadrante (III) en la parte inferior izquierda y el cuarto cuadrante (IV) en la parte inferior derecha.
Finalmente al eje horizontal se designa con la letra X y al vertical con la letra Y.

• Distancia entre 2 puntos.

Es la formula que permite hallar la distancia entre 2 puntos de coordenadas conocidas. Para lograr este objetivo restamos las abcisas y elevamos al cuadrado, hacemos lo mismo con las ordenadas, sumamos los 2 cuadrantes obtenidos y hallamos la raìz cuadrada de la suma.




















Formula. d= Raìz cuadrada de ( X2-X1)2 + ( Y2 - Y1 ) 2

Ejemplo:
Hallar la distancia entre los puntos : A (-2,6) y B (1,10)
d= Raìz Cuadrada de (X2-X1)2 + (Y2-Y1)2
d= Raìz Cuadrada de (10-6)2 + [1-(-2)]2
d= Raìz Cuadrada de (4)2 + (3)2
d= Raìz Cuadrada de : 25
d= 5

Hallar las coordenadas del punto situado sobre el ejeY equidistante de los puntos M (5,5) y N (4,2).

Raiz Cuadrada de (5-0)2 + (5-y)2
Raiz Cuadrada de (4-0)2 + (2-y)2
Raiz Cuadrada de 52+(5-y)2 = Raiz Cuadrada de 42 + (2-y)2
25+25-10y+y2=16+4-4y+y2
-10y+4y=16+4-25-25
Y=5
(0,5)

• Punto medio de un segmento de Recta.

Las coordenadas del punto medio de un segmento, cuando se conocen los puntos extremos P1(X1,Y1), P2(X2,Y2) los extremos de un segmento de recta P1P2 y M ( x,y) Su punto medio ( es decir el punto medio del segmento P1,P2).


Ejemplo: Uno de los extremos de un segmento es el punto A(8,-5), el otro es B(-2,9), encuentra las coordenada del punto medio.

Ym= XA + XB/2 = 8 + -2 / 2 = 3
Ym= YA+YB / 2 = -5+0 / 2 = - 2.5
Xn= XA+XM / 2 = 8 + 3 / 2 = 5.5
XN= YA + YM / 2 = -5+ -2.5 /2 = -3.7
N( 5.5 , - 3.7 )

• Pendiente de una Recta

Es un caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la Funcion en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de Carreteras , Vias ferreas, canales y otros elementos constructivos.



La formula es : m= Y2 - Y1 /X2 - X1
Ejemplo: Hallar la pendiente de una recta que pasa por S(6,-4), T(2,-3)
m= Y2 - Y1 / X2 - X1
m= -3 - -4/ 2 - 6 =
m=-.25

• Distancia de un punto y la recta
  

Sea r una recta y P0 un punto que no pertenece a r. La distancia de P0 a r se define asì :
LLamamos r' a la recta que pasa por P0 y es perpendicular a r.
Entonces r' corta r en un punto I. La distancia de P0 a r es por definicion, la longitud del segmento P0I.
Formula: d=|Ax0 + By0 +C| sobre Raìz cuadrada de A2 + B2 Ejemplo: Hallar la distancia del punto (6,-2) a. A la recta cuya ecuación 3x – 4y + 4 = 0
d=|3(6)- 4(-2)+4 =0
d= |18 - 8 + 4| = 14
Raiz de A2 + B2
Raiz de 324 + 64
Raiz de 388
= 19.69

Capitulo 2 . Secciones Conicas

• Tema 6. Descripcion de secciones conicas

Las secciones conicas son aquellas que se pueden obtener cuando se interseca un cono circular recto con un plano.



La circunferencia es el lugar geometrico de todos los puntos en el plano P(x,y) que son equidistantes de un punto fijo.




Si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono entonces la curva formada por la interseccion se llama ELIPSE



Si un plano corta a unos de los mantos de un cono pero no lo cruza y ademas no tiene contacto con el otro entonces la curva formada se llama parabola.

Si un plano corta a los 2 mantos de un cono la curva formada por la interseccion se nombra hiperbola.



Capítulo 3: La Derivada

• Tema 7: Introducción de la Derivada

El descubrimiento del calculo registrado en la ultima parte del siglo XVII gracias a Isaac Newton y a Gottfried leibniz fue uno de los adelantos mas importantes en el desarrollo del pensamiento humano. Hay una cita atribuida a Laplace en la que revela la prespectiva que el observo en el logro monumental de los autores de esta obra. De ella dijo: "Siempre permanecera preeminentemente sobre todas las otras producciones del genero humano".



El calculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una variable cuando hay variaciones en otra u otras variables en las cuales depende la original.

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiende de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.




Teorema 1
(a) La derivada de una funcion constante es cero.
(b) Si y=x, entonces dy/dx=1.
(c) Si y=x2, entonces dy/dx=2x.
(d) Si y=x3, entonces dy/dx=3x2.
Capítulo 4: Aplicación de la derivada en las gráficas de funciones

• Tema 8: Máximos, mínimos y puntos de inflexión

En las funciones que tiene dos o más parábolas, la coordenada “x” de los vértices se pueden localizar resolviendo la primer derivada igualándola a cero; la coordenada “y” se encuentra resolviendo la función de “x” del vértice f´(x) = 0.

Se dice que p es un máximo local de f si existe un entorno reducido de centro x₀, en símbolos E'(x₀), donde para todo elemento x de E'(x₀) se cumple . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse f(x) < f(x₀).
Análogamente se dice que el punto p es un mínimo local de f si existe un entorno reducido de centro x₀, en símbolos E'(x₀), donde para todo elemento x de E'(x₀) se cumple .

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

Una función es creciente en un intervalo

  \, a, \, b \, 

\right)" alt="\left(

  \, a, \, b \, 

\right)" class="tex"> , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

 \, - \, x_1} \ge 0 

" alt="\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2

 \, - \, x_1} \ge 0 

" class="tex">

Una función es decreciente en un intervalo

  \, a, \, b \, 

\right)" alt="\left(

  \, a, \, b \, 

\right)" class="tex"> , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

 \, - \, x_1} \le 0 

" alt="\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2

 \, - \, x_1} \le 0 

" class="tex">

Formalmente, una funcion real f definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo C de algún espacio vectorial ) se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y para cualquier t en [0,1], se cumple

Se llama función convexa o cóncava hacia arriba, si para dos puntos cualquiera x e y es su dominio C y cualquier t en [0,1], se cumple

La hiperbola

Es el lugar geometrico de todos los puntos del plano cartesiano de modo que el valor absoluto de las diferencias de su distancia a 2 puntos fijos llamados focos es constante.

• Ecuación de una hiperbola con centro en el origen de coordenadas

• Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos:

a)

b)

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

• Ecuacion general de una hiperbola

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

La Derivada

La derivada es una función continua con respecto a una variable el incremento de una función ∆y, el límite del cociente

∆y/∆x=∆x→0

La derivada es una tasa de cambio promedio, se aplica para el calculo de una tasa de crecimiento

La derivada se representa de la siguiente manera:

Y,f](x)=, dy/dx, df/dx= dxy

Regla general de la derivada:

F(x)=axⁿ

F(X)=an^n-1

Ejemplo :

a)10x^2-6x=20x-6

^{b)5x4+7x3=20x3+21x2}

^{La Derivada del Producto}

^{la derivada de producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda condición por la derivada de la primera}

^{la formula general de esta regla es:}

^{f(x)=ab’ + ba’}

^ejemplos:

^{f(x)=(4x-7)(5x2+2)}

^{f(x)=(4x-7)(10x)+(5x2+2)(4)}

^{f(x)=40x2-70x+20x2+8}

^{f(x)=60x2-70x+8}

^{f(x)=-7x2(-x2+x-2)}

^{f(x)=(-7x2)(-2x+1)+(-x2+x+2)(-f(x)=14x3-7x2+14x3-14x2-128x}

^{f(x)=28x3-21x2-28x}

^{La Derivada de un cociente}

^{La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador todo dividido entre el cuadrado del denominador}

^{La formula para derivar una función cociente es:}

^{F(x)=ba’-b’a/b2}

^{Ej.: g(x)=x-3←numerador a=1 /x2-5←denominador b=2x}

^{F(x)=(x2-5)(1)-(2x)(x-3)/(x2-5)2}

^{F(x)=x-5-2x-6x/(x2-5)2}

^{f(x)=x2-6x-5/(x2-5)2}

^{La Regla de la Cadena}

^{Se utiliza para derivar funciones de grado superior y( están elevados por un exponente)}

^{Formula de la regla de la cadena:}

^{F(x)]=ab’+a’b}

^{Ejemplo: 1}

^Y=(2x2+5)3/2

^{y=3/2(5x+4)1/2 (4)}

^{y=(6x)(2x2+5)1/2}

^{ejemplo: 2}

^y=1/2(x2-7)2

^{y=1/2(2)(x2-7)(2x)}

^{y=2/2=1(2x)(x2-7)}

^y=2x(x2-7)

La circunferencia

Es un lugar geometrico de todos los puntos en el plano P(x,y) que son equidistantes de un punto fijo.

El punto fijo es el centro de la circunferencio y cualquier segmento de recta cuyos extremos sean un punto cualquiera de la misma y su centro se llama radio.

La ecuacion de una circunferencia cuyo centro es el punto C(h,k) y radio r:
(x-h)2+(y-k)2=r2
La expresion anterior se conoce con el nombre de ecuacion en la forma ordinaria o reducida de una circunferencia.

• Las secciones conicas

Las siguientes figuras se pueden obtener cuando se intersecan un cono circular recto de 2 mantos con un plano por este motivo se les llama secciones conicas o simplemente conicas.

Elipse:
Se le llama asi a la curva formada por la interseccion que hay cuando un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono.

Parabola:
Es la curva formada por la interseccion que se hace cuando un plano corta a uno de los mantos de un cono pero no lo cruza y ademas no tiene contacto con el otro.

Si un plano corta a los dos mantos de un cono la curva formada por la interseccion se nombra hiperbola.

• Ecuacion de la circunferencia en la forma general

Al desarrollar la ecuacion ordinaria (x-h)2+(y-k)2=r2 obtenemos: x2-2hx+h2+y2-2ky+k2=r2

O tambien: x2+y2-2hx-2ky+h2+k2-r2=0

Si hacemos que: D=-2h
E=-2k
F=h2+k2-r2

Entonces la ecuacion anterior es de la forma: x2+y2+Dx+Ey+F=0