estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del analisis matematico y del algebra en un determinado sistema de coordenadas.
Algebra :
es la rama de las matematicas que estudia las estructuras , las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Junto a la geometria , el analisis matematico, la combinatoria y la teoria de num0, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
Rene Descartes escribio una obra en la que incluia un tema sobre geometria en donde establece una relacion entre esta rama de la matematica con el algebra al elaborar el metodo de las coordenadas como una foema de localizar cualquier punto en un plano.
Con la relación entre geometría analítica y álgebra surge el : Calculo.
Este se aplica en profesiones como:
Ingenieros,Fisicos,MatematicosQuimicos,Economistas,Biologos,Agronomos
entre Otros.
Capitulo 1. Introduccion a la Geometria Analitica.
- Sistemas de coordenadas cartecianas
Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escaados , dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional.
Auna recta numerica se le llama tambien eje y en ocaciones recta orientada.El eje esta formado por 2 semi-ejes semirrectas.El semi-eje positivo es el que tiene origen en O y contiene al punto U , el otro semi-eje con origen en O y que contiene U se llama logicamente el semi-eje negativo.
Se dibujan 2 rectas que dividen el plano en cuatro regiones o cuadrantes. El primer cuadro (I) ocupa la parte superior derecha, el segundo cuadrante (II) se coloca en la parte superior izquierda, el tercer cuadrante (III) en la parte inferior izquierda y el cuarto cuadrante (IV) en la parte inferior derecha.
Finalmente al eje horizontal se designa con la letra X y al vertical con la letra Y.
- Distancia entre 2 puntos.
Formula. d= Raìz cuadrada de ( X2-X1)2 + ( Y2 - Y1 ) 2
Ejemplo:
Hallar la distancia entre los puntos : A (-2,6) y B (1,10)
d= Raìz Cuadrada de (X2-X1)2 + (Y2-Y1)2
d= Raìz Cuadrada de (10-6)2 + [1-(-2)]2
d= Raìz Cuadrada de (4)2 + (3)2
d= Raìz Cuadrada de : 25
d= 5
Hallar las coordenadas del punto situado sobre el ejeY equidistante de los puntos M (5,5) y N (4,2).
Raiz Cuadrada de (5-0)2 + (5-y)2
Raiz Cuadrada de (4-0)2 + (2-y)2
Raiz Cuadrada de 52+(5-y)2 = Raiz Cuadrada de 42 + (2-y)2
25+25-10y+y2=16+4-4y+y2
-10y+4y=16+4-25-25
Y=5
(0,5)
- Punto medio de un segmento de Recta.
Ejemplo: Uno de los extremos de un segmento es el punto A(8,-5), el otro es B(-2,9), encuentra las coordenada del punto medio.
Ym= XA + XB/2 = 8 + -2 / 2 = 3
Ym= YA+YB / 2 = -5+0 / 2 = - 2.5
Xn= XA+XM / 2 = 8 + 3 / 2 = 5.5
XN= YA + YM / 2 = -5+ -2.5 /2 = -3.7
N( 5.5 , - 3.7 )
- Pendiente de una Recta
La formula es : m= Y2 - Y1 /X2 - X1
Ejemplo: Hallar la pendiente de una recta que pasa por S(6,-4), T(2,-3)
m= Y2 - Y1 / X2 - X1
m= -3 - -4/ 2 - 6 =
m=-.25
- Distancia de un punto y la recta
LLamamos r' a la recta que pasa por P0 y es perpendicular a r.
Entonces r' corta r en un punto I. La distancia de P0 a r es por definicion, la longitud del segmento P0I.
Formula: d=|Ax0 + By0 +C| sobre Raìz cuadrada de A2 + B2 Ejemplo: Hallar la distancia del punto (6,-2) a. A la recta cuya ecuación 3x – 4y + 4 = 0
d=|3(6)- 4(-2)+4 =0
d= |18 - 8 + 4| = 14
Raiz de A2 + B2
Raiz de 324 + 64
Raiz de 388
= 19.69
Capitulo 2 . Secciones Conicas
- Tema 6. Descripcion de secciones conicas
La circunferencia es el lugar geometrico de todos los puntos en el plano P(x,y) que son equidistantes de un punto fijo.
Si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono entonces la curva formada por la interseccion se llama ELIPSE
Si un plano corta a unos de los mantos de un cono pero no lo cruza y ademas no tiene contacto con el otro entonces la curva formada se llama parabola.
Si un plano corta a los 2 mantos de un cono la curva formada por la interseccion se nombra hiperbola.
Capítulo 3: La Derivada
- Tema 7: Introducción de la Derivada
El calculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una variable cuando hay variaciones en otra u otras variables en las cuales depende la original.
La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiende de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.
Teorema 1
(a) La derivada de una funcion constante es cero.
(b) Si y=x, entonces dy/dx=1.
(c) Si y=x2, entonces dy/dx=2x.
(d) Si y=x3, entonces dy/dx=3x2.
Capítulo 4: Aplicación de la derivada en las gráficas de funciones
- Tema 8: Máximos, mínimos y puntos de inflexión
Se dice que p es un máximo local de f si existe un entorno reducido de centro x0, en símbolos E'(x0), donde para todo elemento x de E'(x0) se cumple . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse f(x) < f(x0).
Análogamente se dice que el punto p es un mínimo local de f si existe un entorno reducido de centro x0, en símbolos E'(x0), donde para todo elemento x de E'(x0) se cumple .
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
Una función es creciente en un intervalo
\, a, \, b \,
\right)" alt="\left(
\, a, \, b \,
\right)" class="tex"> , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
\, - \, x_1} \ge 0
" alt="\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
\, - \, x_1} \ge 0
" class="tex">
Una función es decreciente en un intervalo
\, a, \, b \,
\right)" alt="\left(
\, a, \, b \,
\right)" class="tex"> , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
\, - \, x_1} \le 0
" alt="\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
\, - \, x_1} \le 0
" class="tex">
Formalmente, una funcion real f definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo C de algún espacio vectorial ) se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y para cualquier t en [0,1], se cumple